Volume da esfera pelo Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri:

Considere dois sólidos de mesma altura assentados sobre um mesmo plano horizontal. Se as seções desses sólidos, obtidas num plano paralelo às bases, tiverem sempre a mesma área em qualquer altura, então esses sólidos têm o mesmo volume.

Volume da esfera:

A anticlepsidra é um sólido geométrico formado a partir de um cilindro equilátero (altura = diâmetro da base = 2(raio da base)), do qual subtraímos dois cones opostos pelos vértices (como uma ampulheta) cujas bases coincidam com as bases do cilindro e cuja altura, obviamente, seja igual ao raio da base.
Se tomarmos uma esfera e uma anti-clepsidra assentadas num mesmo plano horizontal, podemos observar que o Princípio de Cavalieri se aplica perfeitamente nesse caso e, portanto, o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra.

No applet abaixo consideramos apenas as metades da esfera e da anticlepsidra. Mova o ponto vermelho para verificar que as seções possuem sempre a mesma área.