Números Binomiais

Já faz tempo venho comentando com meus amigos professores de Matemática sobre a maneira como os números binomiais (ou coeficientes binomiais) são abordados e definidos na maior parte dos livros didáticos e apostilas de cursinhos pré-vestibulares.
A maior parte deles dá uma definição assim: 

Podemos ver como são artificiais e destituídas de significado essas definições, principalmente a segunda.
Depois disso vem o estudo das principais propriedades dos binomiais, como por exemplo, os binomiais complementares, a relação de Stifel, etc, todas com suas demonstrações calcadas naquela definição.

Pretendo usar este post para mostrar como a definição original de número binomial pode facilitar a compreensão do seu significado e de algumas propriedades estudadas no ensino médio.

Definição: número binomial ou coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\) é o número de subconjuntos de k elementos que se pode extrair de um conjunto de n elementos.

Por exemplo: do conjunto {a, e, i, o, u}, com 5 elementos, podemos retirar:
a) 10 subconjuntos de 2 elementos cada: {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u} e {o, u}. Então \(\binom{5}{2}\) = 10
b) 5 subconjuntos de 1 elemento cada: {a}, {e}, {i}, {o} e {u}. Então \(\binom{5}{1}\) = 5
c) 1 subconjunto de 5 elementos cada: {a, e, i, o, u}. Então \(\binom{5}{5}\) = 1
d) 1 subconjunto de 0 elementos cada: { }  "vazio". Então \(\binom{5}{0}\) = 1
e) nenhum subconjunto de 6 elementos cada. Então \(\binom{5}{6}\) = 0

Binomiais Complementares:  podemos observar facilmente que, cada subconjunto de 2 elementos retirados do conjunto acima, deixa um subconjunto de 3 elementos que não foram retirados. Por exemplo, quando retiramos o subconjunto {a, e}, deixamos o subconjunto {i, o, u}.
Dessa forma é razoável concluir-se que \(\binom{5}{2}\) = \(\binom{5}{3}\) , que \(\binom{5}{4}\) = \(\binom{5}{1}\)  que \(\binom{5}{5}\) = \(\binom{5}{0}\), etc
Ou, genericamente:

Soma dos binomiais de uma mesma linha do triângulo de Pascal:
Ainda utilizando o conjunto {a, e, i, o, u}, podemos dizer que o número total de subconjuntos que dele podem ser extraídos será dado por:  
\(\binom{5}{0}\) +  \(\binom{5}{1}\) +  \(\binom{5}{2}\) +  \(\binom{5}{3}\) +  \(\binom{5}{4}\) +  \(\binom{5}{5}\).
Podemos também pensar da seguinte forma: cada elemento poderá ou não ser retirado do conjunto. Então, o elemento "a" tem 2 possibilidades: ser ou não ser retirado, o mesmo acontecendo com os outros elementos, de modo que o total de subconjuntos retirados é dado por 2.2.2.2.2 = 2⁵. Generalizando:

Relação de Stifel:
O número de subconjuntos de 3 elementos retirados do conjunto {a, e, i, o, u} é dado por  \(\binom{5}{3}\).
É claro que essa quantidade pode ser encontrada somando-se o número de subconjuntos de 3 elementos onde o "a" não entra com o número de subconjuntos de 3 elementos onde o "a" entra. Ou seja,  \(\binom{4}{3}\) +  \(\binom{4}{2}\). 
Assim,  \(\binom{4}{2}\) +  \(\binom{4}{3}\) =  \(\binom{5}{3}\). Generalizando:

Finalizando com uma forma prática de calcular um binomial: não usa fatorial