Três problemas de Probabilidade Geométrica

1) Duas amigas, Ana e Bia, combinaram de encontrar-se entre o meio dia e uma hora da tarde, de  modo que, quem chegasse primeiro ao local do encontro esperaria pela outra no máximo 15 minutos e depois iria embora. Supondo que os horários de chegada sejam aleatórios dentro daquele intervalo combinado, qual a probabilidade desse encontro acontecer?

Solução: 
 Marcando-se os horários possíveis de chegada de Ana e Bia nos eixos cartesianos, cada caso possível é determinado por um ponto (x,y) dentro de um quadrado de lado 60min (1 hora). Por exemplo, se Ana chegar ao meio dia e 20min e Bia chegar ao meio dia e 45min, esses horários correspondem ao ponto (20,45).

No diagrama apresentado no applet abaixo, nota-se que o encontro ocorre se o ponto estiver na região mais escura do quadrado. (Mova os pontos A e B para verificar).

Então, a probabilidade de ocorrer o encontro será dada pela razão entre a área da região mais escura e a área do quadrado, ou seja, P = 7/16.

2) Escolhendo-se aleatoriamente dois pontos distintos no interior de um segmento de reta AB, este fica dividido em 3 segmentos consecutivos. Qual a probabilidade de que esses segmentos possam ser lados de um mesmo triângulo?

Solução: 
Sabe-se que, num triângulo equilátero de altura h, a soma das distâncias de um ponto interno P aos 3 lados é constante e igual a h. Veja a figura abaixo:

No applet abaixo, os pontos C e D dividem o segmento AB em 3 partes: AC, CD e DB, cuja soma é constante e igual ao comprimento de AB. Fazemos a altura do triângulo equilátero igual a AB e, então, qualquer que seja a posição do ponto P no interior do triângulo, a soma das distâncias PR, PS e PT é igual a AB.
Fazendo DB = PR, CD = PS e AC = PT, podemos verificar que esses segmentos são lados de um mesmo triângulo se, e somente se o ponto P pertencer ao triângulo equilátero azul, cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo equilátero de altura h. (Mova o ponto P para verificar).
Então, a probabilidade pedida será a razão entre as áreas desses dois triângulos equiláteros, isto é, P = 1/4.

3) Escolhendo-se aleatoriamente 3 pontos distintos de uma circunferência, qual a probabilidade de eles serem vértices de um triângulo acutângulo?

Solução:
Fixamos um ponto C na circunferência e marcamos os pontos B e A de modo que os arcos CB (anti-horário) e CA (horário) tenham medidas a e b, respectivamente.
Para que os pontos A, B e C sejam distintos e vértices de um triângulo, devemos ter 0° < a + b < 360°.
Para cada par de valores de a e b corresponde um ponto P(a, b) no plano cartesiano situado no interior do triângulo retângulo de cor azul claro no applet abaixo.
Para que o triângulo ABC seja acutângulo, devemos ter a < 180°, b < 180° e a + b > 180°, que correspondem aos pontos do plano cartesiano no interior do triângulo de cor azul escuro. (Mova o ponto P para verificar).
A probabilidade pedida é, portanto, a razão entre as áreas desses dois triângulos, isto é, P = 1/4.